Institut für Mathematik - Lehrstühle - Mathematische Statistik

In der mathematischen Statistik werden Verfahren entwickelt, um mittels zufallsbehafteter empirischer Beobachtungen Rückschlüsse auf deren Verteilung zu ziehen, etwa gewisse Eigenschaften dieser Verteilung zu schätzen oder Annahmen über diese Verteilung zu überprüfen. Zudem wird die Qualität solcher Verfahren untersucht; in der Schätztheorie etwa durch Berechnung des Risikos, d.h. des erwarteten Abstandes zwischen Schätzer und zu schätzender Eigenschaft. Allgemein ist der Statistiker bestrebt, Verfahren zu entdecken, welche dieses Risiko minimieren. Diese Minimierung geschieht häufig asymptotisch, d.h. bei gegen unendlich strebender Anzahl von Beobachtungen. Schwerpunkte bilden hierbei Gebiete aus der nichtparametrischen Statistik, bei der die Verteilungseigenschaften nicht durch endlich viele reellwertige Parameter beschrieben werden können, sondern als Funktionen zu modellieren sind (etwa Dichteschätzung und Regressionsanalyse). Besonderes Augenmerk gilt Messfehlermodellen, bei denen die Daten durch zusätzliche zufällige Effekte verrauscht sind. Die Rekonstruktion der ursprünglichen Zielparameter führt oftmals auf statistische inverse Probleme, insbesondere auf Dekonvolutionsprobleme.
Stochastische Prozesse, d.h. Ansammlungen mehrerer Zufallsvariablen, etwa zufällige Funktionen, spielen bei der Analyse vieler statistischer Probleme eine Rolle. Zum Beispiel können zu vielen Kurvenschätzungsproblemen geeignete Ito-Prozesse gefunden werden, deren Beobachtung asymptotisch äquivalent (im LeCam'schen Sinne) zu den Kurvenschätzungsexperimenten ist. Auch liegen in einigen Fällen funktionale Daten vor, die als Grenzmodell für extrem hochdimensionale Daten geeignet sind. Auch können viele zeitlich abhängige Daten aus den Wirtschaftswissenschaften durch Zeitreihen, also zufällige Folgen, beschrieben werden (etwa GARCH-Modelle), die mit statistischen Methoden analysiert werden.