Aufgabe 1
Seien \(V, W\) endlich dimensionale Vektorräume, \(\varphi:V\rightarrow W\) ein Homomorphismus, \(\{b_1, \ldots, b_k\}\) eine Basis von \(W\). Zeigen Sie, dass es Funktionen \(f_1, \ldots, f_k\in V^*\) gibt, so dass \(\varphi=\sum_{i=1}^k f_i b_i\).
Hinweis 1
Zwei Funktionen \(f\) und \(g\) sind gleich, wenn sie den gleichen Definitionsbereich haben und für alle \(x\) im Definitionsbereich \(f(x)=g(x)\) gilt.
Hinweis 2
Wir können die Funktionen \(f_i\) explizit angeben.
Hinweis 3
Wir wollen die Funktionen \(f_i\) ausgehend von \(\varphi\) konstruieren. Sei \(\{b_1^*, \ldots, b_k^*\}\) die zu \(\{b_1, \ldots, b_k\}\) duale Basis. Wenn die Gleichung \(\varphi=\sum_{i=1}^k f_i b_i\) gilt, dann können wir ein beliebiges \(x\) einsetzen, und auf diese Gleichung \(b_j^*\) anwenden. Wir erhalten
\[
b_j^*(\varphi(x)) = b_j^*\left(\sum_{i=1}^k f_i(x) b_i\right) = \sum_{i=1}^k f_i(x) b_j^*(b_i) = f_j(x)
\]
Also muss, falls es derartige Funktionen \(f_j\) gibt, für alle \(j\) die Gleichung \(f_j=b_j^*\circ\varphi\) gelten. Mit dieser Wahl rechnet man direkt nach, dass die Gleichung gilt.