Handelt es sich um eine innere oder eine äußere direkte Summe?

Da \(U\) und \(G\) Unterräume von \(V\) sind, müssen wir nachweisen, dass \(V\) die innere direkte Summe von \(U\) und \(G\) ist. Welche Eigenschaften für gerade und ungerade Funktionen müssen wir nachweisen?

Wir müssen zeigen, dass eine Funktion nur dann gleichzeitig gerade und ungerade sein kann, wenn sie identisch verschwindet, und dass jede Funktion als Summe einer geraden und einer ungeraden Funktion geschrieben werden kann.

Wir müssen zeigen, dass \(G\cap U=\{0\}\) gilt, und dass jede Funktion \(f\in V\) als \(f=g+u\) geschrieben werden kann, wobei \(g\in G\) und \(u\in U\).

Angenommen, \(f\in G\cap U\). Dann gilt \(f(x)=f(-x)\), weil \(f\) gerade ist, und \(f(x)=-f(-x)\), weil \(f\) ungerade ist. Also gilt \(f(x)=-f(x)\), was nur für \(f(x)=0\) möglich ist. Also ist \(G\cap U=\{0\}\).

Sei \(f\in V\). Wir müssen zwei Funktionen \(u\in U\), \(g\in G\) konstruieren, die \(f=u+g\) erfüllen. Dazu setzen wir \(g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}\), \(u(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}\). Dann gilt \(g+u=f\), \(g(-x)=\frac{f(-x)+f(x)}{2}=\frac{f(x)+f(-x)}{2}=g(x)\), und \(u(-x)=\frac{f(-x)-f(x)}{2}=-\frac{f(x)-f(-x)}{2}=-u(-x)\).

Die Dimension eines Raumes kann man bestimmen, indem man eine Basis findet.

Seien \(B_1, B_2, \ldots, B_k\) Basen von \(U_1, \ldots, U_k\). Was ist ein Kandidat für eine Basis von \(\langle U_1, \ldots, U_k\rangle\)?

Die Dimension von \(\langle U_1, \ldots, U_k\rangle\) ist \(\dim U_1+\dots + \dim U_k\) genau dann, wenn \(B_1\cup\dots\cup B_k\) eine Basis von \(\langle U_1, \ldots, U_k\rangle\) ist.

Da \(B_1\) den Raum \(U_1\) erzeugt, \(B_2\) den Raum \(U_2\) erzeugt und so weiter, erzeugt die Menge \(B=B_1\cup B_2\cup\dots\cup B_k\) den Raum \(U=\langle U_1, \ldots U_k\rangle\). Es läßt sich also aus \(B\) eine Basis für \(U\) auswählen. Die Dimension von \(W\) ist also genau dann \(\dim U_1+\dots\dim U_k\), wenn \(B\) eine Basis ist. Wir müssen also zeigen, dass \(B\) genau dann eine Basis ist, wenn für jede Wahl von Vektoren \(u_i\in U_i\) mit \(u_i\neq 0\) die Menge \(\{u_1, \ldots, u_k\}\) linear unabhängig ist.

Angenommen, \(B\) ist eine Basis von \(U\). Seien \(u_1, \ldots, u_k\) Vektoren mit \(u_i\in W_i\setminus\{0\}\). Angenommen, \(\sum\lambda_i u_i=0\). Dann können wir \(u_i\) durch die Elemente aus \(B_i\) darstellen. Einsetzen dieser Darstellungen in die Relation der \(u_i\) ergibt eine nicht-triviale Relation zwischen den Elementen von \(B\) im Gegensatz zur Annahme das \(B\) eine Basis ist.

Angenommen, \(B\) ist keine Basis von \(U\). Da \(\langle B\rangle = U\), bedeutet dies, dass \(B\) linear abhängig ist. Sei \(B_i=\{b_{1i}, b_{2i}, \ldots, b_{\ell_ii}\}\). Dann gibt es eine nicht-trivale Relation der Form

\[

\sum_{j=1}^{\ell_1} \lambda_{j1} b_{j1} + \sum_{j=1}^{\ell_2} \lambda_{j2} b_{j2} + \dots + \sum_{j=1}^{\ell_k} \lambda_{jk} b_{jk} = 0.

\]

Die erste Summe definiert ein Element von \(U_1\), die zweite eines von \(U_2\) und so weiter. Da nicht alle Koeffizienten verschwinden, sind nicht alle diese Elemente 0, und wir finden eine Relation zwischen Elementen von \(U_i\).